Proviamo ad idealizzare il concetto di distanza d fra 2 punti A e B nel sistema cartesiano a 2 dimensioni XY può essere espressa in forma esplicita in funzione delle relative coordinate mediante il teorema di Pitagora nel seguente modo:

1)

indicando con c la velocità della luce potremmo immaginare che la distanza d possa essere coperta da un raggio di luce in un intervallo di tempo

2)

L’equazione 1) può essere scritta come:

3)

oppure in forma implicita:

3)

esprimendo gli intervalli delle varie coordinate come dei delta posso quindi scrivere:

4)

dal punto di vista geometrico osservo che il primo membro dell’equazione 4) può essere pensato come una distanza in un sistema di riferimento tridimensionale X, Y, cT in cui gli asse X, Y hanno valori immaginari giustificando il segno negativo nel quadrato della 4):

5)

ossia è riportabile alla forma pitagorica:

ora osservo che dalla 4) l’intervallo è zero in un piano cioè proprio in una superficie che non ha curvatura ossia ha curvatura zero. Quindi sembra esserci un legame tra l’intervallo e la curvatura intrinseca del campo (varietà) in cui si è immersi.

Se pensiamo ad una generica linea immersa in un piano, la curvatura è intuitivamente la misura di quanto essa rapidamente varia rispetto alla tangente. Inoltre ci accorgiamo immediatamente che si tratta di una proprietà locale e non globale. Quindi sembrerebbe dipendere dal punto di riferimento o di osservazione.

Ma il vuoto ossia lo spaziotempo è davvero una struttura curvabile? di cosa si sta parlando con il termine vuoto ?

Il vuoto in realtà non è vuoto in qualunque parte dell’universo esso pullula di microscopiche particelle, fotoni, neutrini, e addirittura di particelle pesanti dotate cioè di massa. Esso è quindi concepibile come un fluido ,un oceano di particelle mediatrici di forze, di massa ed energia, nel quale tutto è immerso ed in cui si propagano delle onde.

Cosi come ad esempio nell’aria le molecole si comprimono con un fronte d’onda sonora, così nel vuoto è possibile osservare delle compressioni delle componenti spaziali e temporali con delle onde di spazio-tempo.

Si intuisce quindi che spazio e tempo non sono grandezze necessariamente perpendicolari fra loro ma possono essere oblique ed avere un angolo di curvatura locale, dipendente dalla prospettiva di osservazione nello spaziotempo

Gli effetti della curvatura di una superficie possono essere misurati calcolando la somma degli angoli interni di un triangolo:

nel piano è sempre 180°

quindi

ponendo la quantità

quindi su un piano cioè a curvatura zero risulta:

ma su una sfera in realtà è maggiore di zero

perchè questo ?

angoli e lati di un triangolo sono fra loro in proporzione quindi questo discorso che relaziona angoli e curvatura in un triangolo può essere trasposto nella relazione tra lati e curvatura

con un piccolo sforzo di immaginazione quello che si può intuire e che mentre il teorema di pitagora con la quantità rappresenta idealmente l’ipotenusa e quindi la congiungente lineare dei vertici del triangolo in figura, la luce segue la curvatura della superficie e svela praticamente una struttura curva dell’universo coprendo il percorso in un tempo più lungo di quello atteso nel percorso lineare

in particolare noto che la congiungente è interna alla struttura sferica

segue:

ossia

deduco cioè che una sfera ha curvatura positiva

cioè i 2 punti o eventi lungo la superficie hanno un eccesso di lunghezza rispetto al loro ideale collegamento lineare quindi oltre ad esprimere una distanza fra eventi sembra poter esprimere intrinsecamente una curvatura.

L’equazione 5) infatti ottenuta partendo da sole considerazioni su un sistema di riferimento a 2 dimensioni XY può essere estesa e generalizzata ad uno spazio tridimensionale con l’introduzione dell’asse Z nella forma:

6)

o scritta anche nella forma differenziale:

7)

per poi ritrovare la forma pitagorica corrispondente con gli assi spaziali immaginari:

8)

ds esprime con questa ultima equazione la distanza tra punti molto vicini individuati secondo un osservatore con coordinate spaziali xyz e una coordinata temporale ct (strettamente connessa alla velocita della luce): questi punti prendono il nome di eventi (o quadrivettori)

9)

essi sono immersi in una struttura quadridimensionale chiamata spazio-tempo e la loro distanza ds o intervallo prende il nome di quadrintervallo ed esprime in un sol colpo oltrecchè una separazione spaziale e temporale anche il livello di curvatura della struttura in cui si è immersi

se dovessi rapportare l’intervallo ds fra 2 eventi con la distanza lineare percorsa dalla luce che li collega e li fa “parlare” otterrei praticamente un valore che relaziona la distanza solo alla prima componente ct del quadrivettore come se si guardasse l’ “oggetto quadrintervallo” da una sola prospettiva piuttosto che nel suo insieme ottenendo quindi un valore di curvatura relativa della varietà spaziotempo.

L’aberrazione nell’osservazione della distanza nasce quindi proprio nel modo in cui essa si rapporta “solo” ad una coordinata del quadrivettore creando questo strano effetto prospettivo nello spaziotempo

segue:

,

,

,

indicando le componenti spaziali della velocità dell’osservatore come:

, ,

risulta:

,

,

essendo la velocità un modo di relazionare lo spazio al tempo ossia una prospettiva di osservazione nello spaziotempo ecco come il fattore gamma di Lorentz esprime la conseguente deformazione o aberrazione:

la distanza ds è indipendentemente dalla prospettiva spaziale e temporale ed è quindi la stessa per ogni osservatore quindi per un osservatore O’ l’equazione 7) risulta:

10)

ossia il quadrintervallo misurato da O è uguale al quadrintervallo misurato da O’

11)

ciò che osserva un osservatore O’ ed un osservatore O per quanto misurato in istanti e spazi diversi ha la medesima distanza spazio-temporale esattamente come quando si osserva un oggetto da diverse prospettive o da diversi punti di osservazione ds è quindi un oggetto matematicamente invariante noto come “invariante di Lorentz”.

Il tensore metrico (ved. appunti) è un oggetto matematico che descrive perfettamente questa invarianza indipendemente dalla trasformazione del sistema di coordinate covariante o controvariante che sia. Conseguentemente l’equazione 7) può essere scritta in forma matriciale

12 ) ,

la trasformazione da coordinate perpendicolari in coordinate oblique fa intuire che siamo di fronte ad un osservazione ruotata in profondità del piano x,ct che va a coinvolgere anche le coordinate spaziali y e z. Le coordinate sembrano proprio mescolarsi.

Ragioniamo quindi in questo modo:

visto l’alto numero di componenti e la relativa complessità di calcolo si può quindi iniziare da un caso un pochino più semplice considerando una sola coordinata spaziale con eventi distanti solo lungo l’asse x e l’asse temporale ct

L’equazione 7) si riduce quindi alla forma:

15)

16) dy = dz = 0

in pratica considero una condizione di moto relativo solo lungo le x fra i 2 sistemi di osservazione

integrando la 15) su tutto lo spaziotempo di intervallo infinito risulta

17)
18)

19)

o nella forma pitagorica sul piano complesso:

20)

L’ equazione 19) rappresenta analiticamente una iperbole equilatera (se >0 ha concavità destra e sinistra, se <0 ha concavità verso l'alto e il basso) che interseca gli assi nei punti +s e -s mentre l'equazione 20) immaginaria corrispondente rappresenta una circonferenza di raggio s.

Se si considera la direzione di propagazione della luce rispetto al punto di osservazione O lungo l'asse x , essa si propaga lungo 2 versi simultaneamente ossia in verso concorde alle x ma anche in verso opposto alle x quindi la funzione s della distanza di un evento ha andamento corrispondente ai 2 rami di iperbole

L'iperbole svolge quindi sul piano iperbolico reale un ruolo curiosamente analogo a quello della circonferenza sul piano complesso entrambe esprimono una distanza pari a s !

Quindi muovendosi lungo una direzione da qui all’infinito nello spazio o nel tempo lo spaziotempo ossia l’universo avrebbe una evoluzione di tipo iperbolico a curvatura negativa o anche sferica a curvatura positiva con un raggio di espansione pari ad s.

Ora se dovessi considerare un mio punto di osservazione su un sistema cartesiano bidimesionale come questo con assi ix, ct quali potrebbero essere teoricamente i movimenti che potrei eseguire affinchè resti invariata la distanza tra me e l’oggetto osservato ? che trasformazione devo fare eseguire al mio punto di vista affinchè la distanza resti la stessa e si abbia così l’invarianza di Lorentz ?

una rotazione!

praticamente una rotazione intorno al punto di osservazione nel tempo e nello spazio!

come si vede dal grafico s la distanza rimane così sempre la stessa tra il punto di osservazione O e l’evento osservato applicando la rotazione.

La condizione di osservazione relazionata nel moto lungo una sola direttrice spaziale corrisponderebbe quindi ad una rotazione nel tempo e nello spazio

Ecco la trasformazione nel dettaglio:

l’evento P con coordinate (ct,ix) con la rotazione di un angolo nel nuovo sistema ha coordinate (ct’,ix’)

Considerando il triangolo rettangolo OAR risulta

Considerando il triangolo rettangolo ODI risulta

Ora considero il triangolo rettangolo PEI essendo

riassumendo quindi:

21a)
22a)

Queste equazioni trasformano una circonferenza in se stessa (rendono invariata la distanza s² )

Mi dovrei trovare quindi con equazioni di trasformazione molto simili per avere l’invarianza di s² rappresentabile altresì con una iperbole equilatera , questa deve trasformarsi praticamente in se stessa

Gli asintoti dell’iperbole equilatera sono le rette bisettrici dei quadranti cartesiani note come coni di luce

quindi risulta abbastanza intuitivo che l’iperbole per rimanere uguale nel grafico dovrebbe subire una trasformazione in cui le ordinate si sostituiscono alle ascisse e le ascisse alle ordinate: in poche parole si interscambiano le coordinate del tempo a quelle dello spazio nell’evento P (!)

la trasformazione in termini matriciali risulta quindi

ossia rapportando in generale due punti di osservazione O ed O’ ottengo:

quindi:

21b)
22b)

trasformazioni molto simili alla 21a) e 22a)

Le coordinate spaziali e temporali sembrano quindi praticamente mescolarsi con una simile trasformazione del punto di osservazione e sembrano essere una cosa sola!

Applico quindi le trasformazioni 21b) e 22b) ottenute alla 19) per verificare la validità : in poche parole la distanza spaziotemporale s deve rimane invariata ruotando il punto di osservazione nel tempo e nello spazio

ecco quindi sviluppando i calcoli cosa succede:

,

,

,

,

,

ossia

,

le trasformazioni intuite 21b) e 22b) sono quindi corrette!

se considero in particolare il fronte d’onda a distanza spaziotemporale unitaria s = 1 vediamo cosa succede a queste trasformazioni

22) ,
23) ,

relaziono all’ascissa dell’iperbole equilatera il relativo coseno iperbolico e all’ordinata il relativo seno iperbolico

24) ,
25) ,

sostituendo la 24) e 25) nella 22) risulta

22) ,

,

,

23) ,

24) ,

sostituendo la 23) nella 22) risulta:

,

segue

,

,

25) ,

26) ,

osservo che la tangente iperbolica equivale a:

27) ,

esprimo l’equazione 24) attraverso la relazione 27) della velocità dell’osservatore, ed in maniera del tutto analoga esprimo la 25) attraverso la 27) ottenendo i valori di coseno e seno iperbolico

sostituisco queste espressioni alle trasformazioni di rotazione spaziotemporale della 21b) e della 22b) e risulta

30)

31)

32)

quindi riportando tutto in forma matriciale il sistema di equazioni 32) risulta:

33)

essendo la matrice di trasformazione di Lorentz spaziotemporale da O ad O’ 4×4 lungo la sola direzione x (x-boost):

ed essendo la relativa matrice di trasformazione inversa da O’ ad O:

indicando con

il rapporto tra la velocità di moto all’interno dello spaziotempo e la sua velocità limite strutturale possiamo quindi scrivere:

,

E’ possibile osservare che le trasformazioni della 32) studiate per semplicità con la velocità v lungo la sola direzione all’asse delle x risultano quindi

,

e queste equazioni sono incredibilmente simili alle trasformazioni di Galileo: di nuovo c’è che esprime la “dilatazione” delle componenti nella struttura spaziotempo e il fattore che esprime quanto si è vicini alla velocità della sua massima deformazione strutturale

quindi in forma più generale posso scrivere con la direttrice generica

queste trasformazioni possono essere quindi riassunte tutte in forma più compatta attraverso il tensore metrico come:

la matrice di trasformazione di Lorentz e la relativa antitrasformazione descrivono il tensore metrico ossia l’oggetto invariante spaziotempo.

Vista dello spazio-tempo lungo una linea di universo (sequenza di eventi) con boost lungo le x. I piccoli punti sono specifici eventi nello spazio-tempo (ad esempio stelle nell’universo).

Versione tridimensionale dello spaziotempo di Minkowski

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La prima relazione di Einstein sulla relatività fu pubblicata tre mesi dopo il breve studio di Poincaré,ma prima della versione ampliata dello stesso. Essa si basava sul principio di relatività per ricavare le trasformazioni di Lorentz e per la sincronizzazione degli orologi usava una procedura simile a quella descritta da Poincaré (1900), ma era notevole il fatto che a questa non facesse alcun riferimento. Da parte sua Poincaré non citò mai il lavoro di Einstein sulla relatività ristretta. Einstein citò Poincaré nel testo di una conferenza del 1921 intitolata Geometrie und Erfahrung a proposito di geometrie non euclidee, ma non in relazione alla relatività speciale. Qualche anno prima della sua morte Einstein dichiarò che Poincaré era stato uno dei pionieri della relatività, dicendo che “Lorentz aveva riconosciuto che la trasformazione che porta il suo nome è essenziale per l’analisi delle equazioni di Maxwell, e Poincaré aveva ulteriormente approfondito questo punto di vista …”

Einstein vs Poincarè di Luigi Galgani (scarica PDF)

La tesi psicologica di Luigi Galgani è che Einstein ama a tal punto il lavoro di Poincarè e si ispira a lui fino ad immedesimarsi ossia parte dalle premesse di Poincarè che conosceva quasi a memoria per poi sviluppare un lavoro a se. Entrambi arrivano alle stesse conclusioni.

Einstein è Poincarè di Luigi Galgani parte 1/2

Einstein è Poincarè di Luigi Galgani parte 2/2

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grafico 1)

Occorre quindi comprendere meglio il concetto di distanza in un oggetto o su una struttura curvabile sulla quale è possibile applicare una “tensione strutturale” senza per questo romperla.

L’intero universo è costellato di superfici curve, e anche quando tiriamo una linea dritta su un foglio con una squadra dobbiamo ricordarci che la superficie terrestre è curva e che lo spazio piano (o euclideo) considerato è valido solo in prima approssimazione localmente.

Considero quindi un punto P rispetto ad un altro punto di riferimento O, in uno spazio a due dimensioni, relazionandolo prima ad una metrica (cioè ad un sistema di misura) di tipo cartesiano, in cui gli assi di riferimento x,y sono perpendicolari fra loro , e poi relazionandolo ad una metrica non cartesiana in cui gli assi sono generalmente obliqui.

Mi domando se sia possibile generalizzare con un’equazione la distanza del punto P da O utilizzando assi non necessariamente perpendicolari.

grafico 2)

Se dx e dy sono le coordinate cartesiane del punto P la distanza dall’origine ds è calcolata con il teorema di Pitagora attraverso la relazione:

1)

Ma se si cambia sistema di riferimento con assi obliqui come viene ricalcolata la distanza ds ?

Osservo che mano a mano che ruota l’asse v la distanza ds tra O e P rimane “invariante” mentre cambiano i valori delle coordinate dell’oggetto P rispetto al punto di osservazione.

Se nella rotazione dell’asse v la proiezione di P resta perpendicolare agli assi vuol dire che la direzione delle proiezioni tende a variare insieme alla rotazione stessa per questo il sistema di coordinate che si ottiene è detto co-variante (indicate con un indice basso)

Se nella rotazione dell’asse v le proiezioni di P variano rimanendo parallele nella direzione agli assi opposti (la proiezione su è parallela a e la proiezione su rimane parallela a ) il sistema di coordinate viene definito contro-variante (indicate con un indice alto).

In particolare nel sistema di riferimento cartesiano le componenti covarianti coincidono con quelle controvarianti. Mi domando se posso quindi generalizzare il teorema di Pitagora con componenti generiche covarianti e controvarianti fra loro distinte.

In poche parole quale è la legge che permette di passare dalle componenti covarianti a quelle controvarianti e viceversa ?

grafico 3)

sovrapponendo fra loro come in figura i diversi sistemi di riferimento cartesiani, covarianti e controvarianti per capirne geometricamente le relazioni ottengo che:

2)

quindi

3)

ossia ragionando in termini di “vettori” devo applicare una trasformazione geometrica che mi fa passare da componenti di tipo cartesiano a componenti di tipo controvariante attraverso una matrice di trasformazione H: un pò come quando con i numeri si eseguono operazioni aritmetiche e si parte da dei numeri per ottenerne degli altri qui in ambito geometrico si parte da qualcosa di più generale cioè un insieme di numeri o scalari detti vettori per ottenerne degli altri

4)

essendo per la 3) H una matrice di trasformazione composta da 4 scalari:

5)

in maniera del tutto analoga posso ottenere le seguenti relazioni geometriche per passare dalle coordinate cartesiane a quelle covarianti

6)

ossia applico una matrice di trasformazione M per passare dalle coordinate cartesiane a quelle covarianti

7)

essendo

8)

Mi propongo ora di trovare una relazione tra le coordinate controvarianti e quelle covarianti. Geometricamente dal grafico 3) ottengo le seguenti relazioni:

9)

quindi:

10)

ossia devo applicare una matrice di trasformazione covariante per passare da un vettore con componenti di tipo controvariante a componenti di tipo covariante:

11)

segue:

12)

dalla seconda equazione della 9) risulta:

sostituisco nella prima equazione della 9) e risulta:

e ottengo la relazione:

13)

in maniera del tutto analoga dalla prima equazione della 9) risulta:

sostituisco nella seconda equazione della 9) e risulta:

ed ottengo la relazione:

14)

ricomponendo insieme le relazioni 13) e 14) mi risulta:

15)

ossia devo applicare una matrice di trasformazione controvariante per passare da un vettore con componenti covarianti ad uno con componenti controvarianti:

16)

quindi

17)

questa matrice che esprime la legge di trasformazione dalle coordinate covarianti a quelle controvarianti a fronte di una distanza invariante tra oggetto P e osservatore 0 è il tensore metrico controvariante

riepilogo quindi con uno schema più chiaro le relazioni intercorrenti tra le varie matrici di trasformazione dirette e inverse:

ossia dalla 4) e la 16) ottengo che:

da cui relazionando quest’ultima equazione membro a membro con la 7) ho

inoltre come si vede dal grafico 3):

cioè il prodotto tra una trasformazione ottenuta con il tensore metrico covariante ed il tensore metrico controvariante è una matrice di identità metrica nello spazio bidimensionale considerato.

Tale identità poteva essere generalmente dedotta da un caso particolare cioè quando le componenti covarianti sono uguali a quelle controvarianti in pratica quando l’angolo = 90°

quindi dalle equazione 12) e 17) risulta:

L’identità o invarianza metrica nel piano euclideo corrisponde quindi ad una trasformazione lineare covariante e alla relativa antitrasformazione controvariante che restituisce alla fine la distanza stessa

L’oggetto osservato, ossia la distanza , è sempre la stessa sia se che si usano sistemi di coordinate covarianti che sistemi di coordinate controvarianti

deduco quindi se si dovesse ragionare in 3 dimensioni nel piano cartesiano la distanza

sarebbe rappresentabile simmetricamente con il tensore metrico g :

ossia come una matrice di trasformazione che fornisce l’identità delle singole componenti di un qualsiasi punto dello spazio euclideo e quindi conseguentemente anche l’identità dell’intero spazio in cui si è immersi

Lo stesso ragionamento quindi si può fare su sistemi di riferimento a più dimensioni e più complessi “preservando questa simmetria dello spazio di tipo euclideo”.

Si parla di tensore metrico quando l’oggetto invariante è immerso in uno spazio metrico e le relative leggi di trasformazione riguardano le componenti connesse alla distanza. Come è facile intuire ci sono però vari tipi di tensori proprio in funzione del campo e delle relative grandezze che si prendono in considerazione. Per tale ragione i tensori sono gli strumenti fisico-matematici per comprendere le leggi dei campi.

Faccio un esempio per essere più chiaro:

uno scalare è un numero che potrebbe esprimere ad esempio semplicemente una grandezza come la temperatura in un punto preciso dello spazio, un insieme di scalari costituiscono un vettore: ad esempio il gradiente della temperatura , è un oggetto matematico che ci dice localmente ,attraverso un vettore, quale sia la direzione , il verso in cui si trova la sorgente termica e la sua intensità. In questo tipo di campo il gradiente termico fornisce l’informazione di quanto rapidamente varia la temperatura in funzione di un certo spazio. Esso è cioè un tensore di tipo covariante: tanto varia lo spazio nella direzione, nel verso e nella distanza e tanto egualmente varia il gradiente nella direzione , nel verso e nell’intensità. Mentre la sola posizione differenziale dl in questo campo rappresenta un tensore di tipo controvariante.

Le leggi generali della natura debbono potersi intendere mediante equazioni che valgono per tutti i sistemi di coordinate, cioè che siano covarianti rispetto a qualunque sostituzione (covarianti in modo generale).” La “covarianza”, rispetto a determinate trasformazioni di coordinate, sembrerebbe quindi essere condizione sufficiente perché le equazioni che esprimono le leggi fisiche restino invariate in forma.

Si intuisce ora che la presenza di un oggetto con determinate proprietà fisiche fa quindi acquisire allo spazio circostante delle proprietà fisiche “modificandolo” e questo è praticamente il concetto di campo in fisica (ossia la regione di spazio che delimita fenomeni fisici con certe proprietà), la legge che esprime il campo (indipendentemente dal punto di osservazione cioè una covarianza generale) è il tensore covariante , per questo i tensori covarianti servono a studiare i campi e a generalizzarne le leggi fisiche. Le interazioni tra oggetti immersi nel campo si possono quindi spiegare come delle perturbazioni del campo stesso ossia come azioni che curvano la sua struttura geometrica.

Tornando al tensore metrico per generalizzare quindi il concetto di distanza di un punto occorre coinvolgere sia la metrica covariante che la metrica controvariante:

l’equazione 1) che esprime la distanza nella metrica cartesiana con il teorema di Pitagora può essere riscritta come:

1A)

ricordando che dx dalla prima equazione della 6) equivale a ma equivale anche dalla prima equazione della 3) a

e ricordando che dy dalla seconda equazione della 6) equivale a: ed equivale dalla seconda equazione della 3) anche a

posso riscrivere l’equazione 1a) come:

1B)

segue:

1C)

il termine nella 1c) può essere scritto come in quanto

nella seconda equazione della 3) quindi il termine nella 1C) può essere riscritto come

quindi la 1c) può essere espressa come :

1D)

si arriva così ad una importante riformulazione della distanza qualunque sia l’inclinazione degli assi di riferimento ossia:

1E)

come è facilmente osservabile questa equazione ha espresso implicitamente anche il teorema di Pitagora della 1) e lo generalizza perchè nel caso particolare in cui gli assi e sono fra loro perpendicolari e ottengo di nuovo

l’espressione quadratica della distanza 1e) potrebbe quindi essere ora correlata con il tensore metrico

indicando con dX la generica componente sull’ X-esimo asse di riferimento l’equazione 1e) può essere riscritta in forma più generale come

1F)

in particolare i e j sono le i-esime e j-esime componenti indicate con dX così l’equazione 1F) equivale alla forma più compatta :

1G)

(il segno di sommatoria viene sottointeso ved. notazione di Einstein )

oppure può essere scritta nella forma:

1H)

inoltre con l’equazione 11) posso scrivere:

1I)

mentre con l’equazione 16) scrivo:

1L)

combinando quindi la 1H) con la 1L) ottengo la relazione tra il tensore metrico controvariante e la distanza ossia l’equazione metrica:

1M)

esprimibile anche nella seguente forma con il tensore metrico covariante:

1N)

La definizione di tensore metrico si basa quindi su regole di trasformazione delle sue componenti (covarianti o controvarianti che siano) tenendo ben presente che queste trasformazioni possono essere effettuate solo a fronte di una distanza invariante ossia ragionando all’interno di una struttura curvabile con questa proprietà.

L’idea che si può trarre e che il tensore g esprime perciò la proprietà di una struttura geometricamente curvabile di avere i punti del suo reticolo ad una distanza sempre uguale in rapporto alle componenti strutturali stesse:

, (tensore controvariante di ordine 2)

, (tensore covariante di ordine 2)

così g generalizza il concetto di invarianza dell’intervallo spaziale ds a tutti i punti di una matrice in rapporto alle relative componenti: indubbiamente un concetto di distanza più vicino al modo di concepire naturalmente un oggetto come insieme di punti, particelle o atomi.

Immaginando tale superficie immersa in un volume o ipervolume curvabile ossia una “varietà topologica di dimensione 3 o superiore” così g “il tensore fondamentale dello spazio” raccoglie e sottoindende numerosi concetti come distanza, angolo, lunghezza di una curva, curvatura ecc.. Per questo con il tensore metrico si parla di geometria intrinseca: ossia è possibile descrivere tutte le proprietà metriche di una varietà intrinsecamente, tramite le sue sole coordinate oblique o piu in generale curvilinee, “dimenticando” che la varietà è immersa in uno spazio euclideo.

Ricordando che la derivata di una funzione rispetto a una componente non è altro che la direzione in cui localmente la funzione rapidamente varia (ossia è la tangente alla curva nel punto) così il tensore metrico indica come la funzione quadratica della distanza rapidamente varia in relazione alle componenti. Questo praticamente può essere interpretato geometricamente come rapidamente cambia il piano tangente rispetto ad una varietà cioè è la definizione di curvatura rispetto a uno spostamento locale in uno spazio.

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La simmetria è presente in qualsiasi elemento naturale anche tra i più piccoli. Tutto ciò che osserviamo è simmetrico ma, vogliamo cercare una definizione a questa parola. Allo scopo di definire esattamente l’ essenza della simmetria, i matematici si interessano non tanto alla forma degli oggetti simmetrici, quanto alle trasformazioni che si possono far loro subire lasciandoli invariati. Ma per semplificare, non si usa parlare di trasformazione di simmetria, ma semplicemente di “simmetria” dell’oggetto.

Che le cose non cambino a seconda del punto di vista effettuando una semplice traslazione ce ne eravamo in effetti accorti con il primo principio della dinamica o principio di inerzia che non è di banale osservazione anzi:

“Se un corpo è fermo rimane fermo, mentre se un corpo è in movimento rettilineo uniforme e non sono presenti attriti ossia forze esterne significative continuerà a moversi con la stessa velocità, la stessa direzione e lo stesso verso”.

Un sistema inerziale è quindi un sistema che in condizioni di assenza di forze significative agenti su di esso risulterà invariante nel suo stato (cioè nel suo insieme) sia che ci si muova di moto rettilineo uniforme o sia che si stia fermi.

Incredibilmente per un sistema inerziale non vi è quindi differenza alcuna tra quiete e movimento. Esiste praticamente una simmetria rispetto al movimento anche nel caso particolare in cui la velocità è nulla. Non esistono così sistemi di riferimento preferenziali: ciò che si osserva in moto o da fermi è praticamente sempre la stessa identica cosa.

Le leggi della natura sono perciò sempre le stesse in tutti i sistemi inerziali sia che ci si muova uniformemente nella velocità, nella direzione e nel verso o che si stia praticamente fermi!

Non esistendo quindi sistemi preferenziali nell’osservazione se ne deduce che non esiste il moto assoluto ma solo il moto relativo.

Posti due osservatori nel vuoto dello spazio risulterebbe per loro molto difficile in assenza di altri punti di riferimento al di fuori di loro stessi dire che si stia davvero muovendo o chi sia davvero fermo. Non vi è mai capitato di essere in un treno fermo in stazione e di vedere dal finestrino un altro treno e di non capire ad un certo punto chi stia davvero muovendo il vostro treno o l’altro ? intendo questo …

La prima grandezza fisica che prendiamo in considerazione che risulta invariante al moto dei sistemi inerziali è la velocità della luce.

Indicando con c la velocità della luce pari approssimativamente a 300.000 km/s deduciamo che essa dovrebbe essere sempre la stessa in “qualunque” sistema inerziale in moto o in quiete.

Immaginiamo di eseguire mentalmente un esperimento, “Gedankexperiment” in tedesco, in cui noi siamo dentro il vagone di un treno facendo rimbalzare un fascio di luce, ossia dei fotoni a velocità c, tra il soffitto ed il pavimento utlizzando degli specchi distanti tra loro . Praticamente un orologio un pò particolare che scandisce il tempo utilizzando i fotoni.

Secondo un osservatore interno del vagone (solidale ad esso) si vedrebbe un fotone andare dal punto A al punto B con velocità c come in figura:

il fotone impiega un tempo per andare e tornare nel punto A dato dalla somma del tempo in andata e del tempo di ritorno

1)  

quindi la distanza fra i due specchi risulta essere

2)  

Secondo un osservatore esterno al vagone in movimento invece si vedrebbe il fotone con velocita c compiere un percorso A -> B’ -> A” di lunghezza evidentemente maggiore di AB

secondo l’osservatore a terra il tempo impiegato dal fotone per andare e tornare nello stesso punto dello specchio corrisponderebbe a :

3)  

quindi la distanza fra i due specchi risulta essere

4)  

se v è la velocità di traslazione del vagone, lo spazio da esso percorso nel tempo t che è necessario al fotone per partire e tornare nello stesso punto dello specchio risulta:

unendo idealmente i punti A’ A” B’ otteniamo un triangolo rettangolo nel quale per il teorema di pitagora vale la relazione:

relazioniamo tra loro i tempi e

la relazione fra il tempo dell’osservatore in quiete e dell’osservatore in moto è quindi:

5)  

indicando con   l’equazione 5) può essere scritta semplicemente come:

6)  

  detto anche “tempo proprio” è il tempo misurato dall’osservatore interno nel vagone fermo rispetto all’orologio a fotoni.

  detto anche “tempo improprio” è il tempo misurato dall’osservatore esterno al vagone non fermo rispetto all’orologio a fotoni.

Analizziamo ora le relazioni dei tempi t e t_o dei due osservatori in funzione della velocità del vagone:

se la velocità v è molto bassa ossia molto più piccola di c segue che   e quindi  

si ha quindi simultaneità nelle due osservazioni fuori e dentro il vagone

se la velocità è molto alta ossia molto vicina a c segue che   quindi  

ossia i fenomeni osservati a terra risultano avere durata molto grande mentre i fenomeni osservati nel vagone risultano avere durata molto breve:

Non si ha perciò più simultaneità nelle due osservazioni ed un breve istante dentro il vagone sembrerebbe interminabile ad un osservatore esterno

il fattore   che relaziona i tempi di osservazione subisce a velocità prossime a quelle della luce una grande dilatazione come se la velocità della luce fosse un limite fisico. Attraverso tale fattore si intuisce inoltre che il tempo non può essere inteso come una grandezza fisica assoluta ma è da considerarsi come relativa al sistema di osservazione.

Fino ad ora abbiamo preso in considerazione un orologio in cui i fotoni eseguivano una scansione del tempo verticalmente alla direzione di moto del vagone. Ora prendiamo in considerazione un orologio che effettua la scansione del tempo lungo la stessa direzione di moto del vagone.

Per un osservatore interno al vagone il fotone parte da A rimbalza in B e torna di nuovo in A coprendo la distanza , mentre per un osservatore esterno il percorso diventa AB’A’ quindi il tempo totale di rimbalzo del fotone è:

quindi ricapitolando nell’orologio verticale abbiamo per l’equazione 2) e l’equazione 6) una relazione tra tempo e spazio come segue:

7)  

mentre nell’orologio orizzontale abbiamo la relazione tra tempo e spazio come segue:

8)  

eguagliando quindi l’equazione 7) e 8):

otteniamo la relazione tra le lunghezze osservate fuori e dentro il vagone:

9)  

essendo il fattore   se ne deduce quindi che l’osservatore esterno al vagone osserva rispetto a quello interno una contrazione della lunghezza dell’orologio di luce lungo la direzione di moto.

  viene definita “lunghezza propria” che è quindi la lunghezza dell’orologio di luce misurata da un osservatore in quiete rispetto ad esso

  viene definita “lunghezza impropria” che è quindi la lunghezza dell’orologio di luce misurata da un osservatore in moto rispetto ad esso

Ma come si può interpretare praticamente   ?
Quando si osserva un oggetto da diversi punti di vista le sue “proprietà” come lunghezza, larghezza e profondità variano, lo si può vedere di profilo oppure di sopra e le dimensioni prospettiche saranno ogni volta diverse ma rimane sempre quell’oggetto. Alla stessa identica maniera osservando il nostro orologio di luce da dentro il vagone o da fuori il vagone ne percepiamo il tempo di oscillazione e la sua lunghezza sostanzialmente come delle “proprietà” variabili in funzione del punto di osservazione ma rimane sempre quel regolo di luce e   sembra esprimere in pratica una prospettiva nell’osservazione dello spazio e del tempo di un “unico oggetto fisico” che è chiamato “spaziotempo”.

dalla 6) risulta:  

dalla 9) risulta:  

Esiste in poche parole una simmetria tra spazio e tempo: lo spazio è il tempo ed il tempo è lo spazio a seconda del modo in cui l’osservazione viene fatta.

Essendo la velocità della luce il rapporto tra 2 grandezze simmetriche e tra loro equivalenti, ed essendo quindi il suo valore invariante rispetto al sistema di riferimento può essere utilizzata come un vero e proprio strumento di riferimento nelle misurazioni. Immaginando di utilizzare la luce come un vero e proprio regolo nelle misurazioni dello spazio o del tempo possiamo quindi affermare che il valore c è lo spazio percorso dalla luce in 1 secondo o è semplicemente 1 secondo!

Consideriamo un regolo AB di lunghezza pari a 1 secondo luce o semplicemente c , per un osservatore a terra esso trasla in un secondo orizzontalmente di uno spazio v ed il fotone secondo lui percorre lo spazio AP=c, mentre per un osservatore solidale al regolo il fotone percorre lo spazio A’P che come visto prima con il teorema di Pitagora risulta:

quando il fotone arriva nel punto B” per l’osservatore ad esso solidale nel moto è passato 1 secondo ed osserviamo che si formano i triangoli APA’ e AB”A” che sono tra loro simili e vale la relazione:

cioè otteniamo:

e si puo dedurre anche che:

PROSPETTIVA DEGLI EVENTI RELATIVA ALL’OSSERVAZIONE IN MOTO
quindi durante 1 secondo a parere di un osservatore non solidale al regolo il fotone coprendo lo spazio AP=c tale orologio o regolo si sposta di uno spazio AA’=v

PROSPETTIVA DEGLI EVENTI RELATIVA ALL’OSSERVAZIONE IN QUIETE
mentre a parere di un osservatore solidale al regolo coprendo 1 secondo luce pari ad A”B” il regolo trasla di una distanza   volte maggiore pari a  

Chi ha dunque ragione di fronte a questa discordanza ?
evidentemente tutti e due ! è solo una questione di punti di vista, il fattore   esprime una prospettiva delle proprietà spaziali o temporali osservate!

i due osservatori osservano spazi e tempi diversi e quindi anche velocità diverse !
Ma ricordando che la quantità di moto del nostro regolo è data dal prodotto della sua massa per la sua velocità se ne dedurrebbe che a seconda del punto di vista spaziale/temporale anche la quantità di moto sarebbe diversa!

Cosa ?
e che ne sarebbe del principio di conservazione della quantità di moto, dell’impulso e quindi della stessa energia ?

secondo la prospettiva 1) dell’osservatore in quiete rispetto all’orologio: tale orologio e quindi anche i suoi fotoni possiedono un momento o una quantità di moto pari a   (essendo m_o la massa dell’orologio misurata da tale osservatore)

secondo la prospettiva 2) dell’osservatore in moto rispetto all’orologio: tale orologio e quindi anche i suoi fotoni possiedono una quantità di moto   volte superiore pari a   (essendo m la massa dell’orologio misurata da tale osservatore)

Per il principio della conservazione della quantità di moto i due momenti devono essere fra loro uguali:

ossia semplificando v in entrambi i membri dell’equazione

10)  

la massa dell’orologio sembra quindi subire un incremento mano a mano che aumenta la velocità! Incredibile ! Vediamo ora quindi di capire da dove arriva questa massa in eccesso! e per farlo partiamo dal secondo principio della dinamica e dal teorema dell’impulso secondo il quale la variazione di quantità di moto equivale all’impulso:

11)  

Calcoliamo il lavoro o l’energia cinetica prodotta nello spostamento infinitesimo dx:

sostituendo quindi F con la 11) otteniamo:

ma   non è altro che la definizione di velocità

segue quindi

12)  

consideriamo ora finalmente la massa relazionata fra i due sistemi di osservazione dell’equazione 10) eleviamo entrambi i membri al quadrato

differenziamo i membri dell’equazione per capire tale variazione di massa che qui visualizziamo cosa implica:

semplificando il termine 2m otteniamo

13)  

ma il secondo membro della 13) non è altro che il lavoro infinitesimo prodotto nel piccolo spostamento della massa nell’equazione 12)

la variazione infinitesima di massa moltiplicata per il quadrato della velocità della luce esprime quindi la variazione infinitesima di lavoro, calcoliamo quindi quanto vale complessivamente la variazione di lavoro nelle due modalità di osservazione (a riposo e in movimento):

essendo:

W_o ed m_o rispettivamente il lavoro e la massa del regolo secondo l’osservatore in quiete relativa ad esso (osservazione dentro il vagone)
W ed m il lavoro e la massa del regolo secondo l’osservatore in moto relativo ad esso (osservazione a terra o fuori il vagone)

ottieniamo quindi

14)  

la differenza di energia cinetica o di lavoro nelle due osservazioni in movimento e in quiete è quindi ed otteniamo:

15)  

16)  

17)  

Questa relazione spiega che variazioni di energia cinetica in un sistema implicano variazioni di massa la quale tende ad aumentare in relazione alla velocità secondo l’equazione 10). Considerando che in un sistema non è possibile stabilire fisicamente se questo è assolutamente fermo se ne può dedurre che qualsiasi oggetto nell’universo è intrinsecamente dotato di moto e quindi anche di energia cinetica anche quando è apparentemente fermo. Quindi l’energia potenziale del sistema a riposo non è altro che :

18)  

quindi l’energia meccanica totale è:

19)  

20)  

21)  

«Dalla teoria della relatività speciale si ricava che massa ed energia sono entrambe differenti manifestazioni della stessa cosa – un concetto non di immediata comprensione per l’uomo della strada. Inoltre, l’equazione E uguale a m moltiplicato per c elevata al quadrato, che significa che l’energia è uguale alla massa moltiplicata per il quadrato della velocità della luce, mostra che piccolissime quantità di massa possono essere trasformate in una immensa quantità di energia e viceversa. La massa e l’energia sono infatti equivalenti, secondo la formula appena citata. Questo è stato dimostrato da Cockroft e Walton nel 1932 in un esperimento».

Massa ed energia sono due aspetti simmetrici della realtà. La rottura di questa simmetria genera l’una o l’altra cosa.

Meraviglioso!

Questo articolo è in formato video su YouTube:
http://www.youtube.com/watch?v=sWbYLQTxPl8

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1)

non esiste nessun numero reale che elevato al quadrato restituisca -1, in quanto il quadrato di un numero reale è un numero positivo oppure nullo. Le soluzioni sono

essendo un’ entità matematica non reale o immaginaria indicata con la lettera i

quindi le soluzioni dell’equazione 1) sono

ossia

se ne deduce quindi che i numeri reali si ottengono da operazioni con numeri immaginari (in questo caso il quadrato dell’unità immaginaria) quindi l’insieme dei numeri reali R non può che essere un sottoinsieme di un insieme ancora più vasto costituito da numeri reali e da numeri immaginari: tale insieme è quello dei numeri complessi C

Possiamo definire quindi un numero complesso z come un vettore costituito da una coppia di valori: uno reale (a) e ed uno immaginario (ib) rappresentabile nel Piano di Gauss:

essendo:

  è l’angolo formato tra il vettore z e l’asse reale e valgono quindi le relazioni:

segue :

2)

deriviamo ora z rispetto a per vedere come tale vettore rapidamente varia in funzione di questo angolo:

ipotizzando costante risulta:

ma ricordando la definizione di z nella 2) risulta:

sommiamo attraverso un processo di integrazione tutte le microvariazioni di z rispetto a :

per la 2) risulta:

se otteniamo la formula di Eulero

se otteniamo

questo risultato è facilmente comprensibile: quando l’angolo corrisponde a 180° la punta del vettore complesso coincide nella direzione ma con verso opposto all’asse reale (ved. segno negativo) e con modulo 1

da qui segue la famosa identità di Eulero:

L’equazione, elegante e concisa, racchiude ben 5 entità fondamentali della matematica:

- il numero di Nepero o Eulero:
- la costante
- il numero immaginario
- il numero naturale
- il numero naturale

La bellezza della matematica risiede nella pluralità delle possibili connessione che un risultato riesce ad evocare. La formula di Eulero mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. (L’identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero). Ora visto che i numeri complessi sono un insieme molto più grande dei numeri reali e visto che attraverso questi ultimi è possibile descrivere i fenomeni fisici naturali possiamo concludere che i numeri complessi possono essere utili a descrivere la fisica dei fenomeni in modo più generale e matematicamente più compatto.

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