Introduzione alla teoria della relatività speciale

Uno dei concetti più affascinanti in natura è la simmetria (o invarianza). La simmetria è la base per la nostra comprensione scientifica dell’universo. Cambiando il punto di vista ossia il sistema di riferimento nell’osservazione gli oggetti e le leggi che regolano i fenomeni osservati restano sempre gli stessi.

La simmetria è presente in qualsiasi elemento naturale anche tra i più piccoli. Tutto ciò che osserviamo è simmetrico ma, vogliamo cercare una definizione a questa parola. Allo scopo di definire esattamente l’ essenza della simmetria, i matematici si interessano non tanto alla forma degli oggetti simmetrici, quanto alle trasformazioni che si possono far loro subire lasciandoli invariati. Ma per semplificare, non si usa parlare di trasformazione di simmetria, ma semplicemente di “simmetria” dell’oggetto.

Che le cose non cambino a seconda del punto di vista effettuando una semplice traslazione ce ne eravamo in effetti accorti con il primo principio della dinamica o principio di inerzia che non è di banale osservazione anzi:

“Se un corpo è fermo rimane fermo, mentre se un corpo è in movimento rettilineo uniforme e non sono presenti attriti ossia forze esterne significative continuerà a moversi con la stessa velocità, la stessa direzione e lo stesso verso”.

Un sistema inerziale è quindi un sistema che in condizioni di assenza di forze significative agenti su di esso risulterà invariante nel suo stato (cioè nel suo insieme) sia che ci si muova di moto rettilineo uniforme o sia che si stia fermi.

Incredibilmente per un sistema inerziale non vi è quindi differenza alcuna tra quiete e movimento. Esiste praticamente una simmetria rispetto al movimento anche nel caso particolare in cui la velocità è nulla. Non esistono così sistemi di riferimento preferenziali: ciò che si osserva in moto o da fermi è praticamente sempre la stessa identica cosa.

Le leggi della natura sono perciò sempre le stesse in tutti i sistemi inerziali sia che ci si muova uniformemente nella velocità, nella direzione e nel verso o che si stia praticamente fermi!

Non esistendo quindi sistemi preferenziali nell’osservazione se ne deduce che non esiste il moto assoluto ma solo il moto relativo.

Posti due osservatori nel vuoto dello spazio risulterebbe per loro molto difficile in assenza di altri punti di riferimento al di fuori di loro stessi dire che si stia davvero muovendo o chi sia davvero fermo. Non vi è mai capitato di essere in un treno fermo in stazione e di vedere dal finestrino un altro treno e di non capire ad un certo punto chi stia davvero muovendo il vostro treno o l’altro ? intendo questo …

La prima grandezza fisica che prendiamo in considerazione che risulta invariante al moto dei sistemi inerziali è la velocità della luce.

Indicando con c la velocità della luce pari approssimativamente a 300.000 km/s deduciamo che essa dovrebbe essere sempre la stessa in “qualunque” sistema inerziale in moto o in quiete.

Immaginiamo di eseguire mentalmente un esperimento, “Gedankexperiment” in tedesco, in cui noi siamo dentro il vagone di un treno facendo rimbalzare un fascio di luce, ossia dei fotoni a velocità c, tra il soffitto ed il pavimento utlizzando degli specchi distanti tra loro $L_o$ . Praticamente un orologio un pò particolare che scandisce il tempo utilizzando i fotoni.

Secondo un osservatore interno del vagone (solidale ad esso) si vedrebbe un fotone andare dal punto A al punto B con velocità c come in figura:

il fotone impiega un tempo $t_o$ per andare e tornare nel punto A dato dalla somma del tempo in andata $t_{AB}$ e del tempo di ritorno $t_{BA}$

1) $t_o = t_{AB} + t_{BA} = {L_o \over c } + {L_o \over c } = {2L_o \over c }$

quindi la distanza fra i due specchi risulta essere

2) $L_o = {ct_o \over 2 }$

Secondo un osservatore esterno al vagone in movimento invece si vedrebbe il fotone con velocita c compiere un percorso A -> B’ -> A” di lunghezza evidentemente maggiore di AB

secondo l’osservatore a terra il tempo impiegato dal fotone per andare e tornare nello stesso punto dello specchio corrisponderebbe a :

3) $t = t_{AB'} + t_{B'A''} = {L \over c } + {L \over c } = {2L \over c }$

quindi la distanza fra i due specchi risulta essere

4) $L = {ct \over 2 }$

se v è la velocità di traslazione del vagone, lo spazio da esso percorso nel tempo t che è necessario al fotone per partire e tornare nello stesso punto dello specchio risulta:

$AA'' = vt = AA' + A'A'' = {vt \over 2 } + {vt \over 2 }$

unendo idealmente i punti A’ A” B’ otteniamo un triangolo rettangolo nel quale per il teorema di pitagora vale la relazione:

$(A''B')^2 = (A'A'')^2 + (A'B')^2$

$({ct \over 2})^2 = ({vt \over 2})^2 + ({ct_o \over 2})^2$

relazioniamo tra loro i tempi $t$ e $t_o$

$({ct})^2 - ({vt})^2 = c^2 t_o^2$

$t^2 (c^2 - v^2) = c^2 t_o^2$

$t^2 c^2 (1 - {{v^2}\over{c^2}} ) = c^2 t_o^2$

$t^2 (1 - {{v^2}\over{c^2}} ) = t_o^2$

$t^2 = {t_o^2 \over (1 - {{v^2}\over{c^2}} )}$

la relazione fra il tempo dell’osservatore in quiete e dell’osservatore in moto è quindi:

5) $t = {t_o \over \sqrt{ (1 - {{v^2}\over{c^2}} )}}$

indicando con $\gamma = {1 \over \sqrt{ (1 - {{v^2}\over{c^2}} )}}$ l’equazione 5) può essere scritta semplicemente come:

6) $t = t_o \gamma$

$t_o$ detto anche “tempo proprio” è il tempo misurato dall’osservatore interno nel vagone fermo rispetto all’orologio a fotoni.

$t$ detto anche “tempo improprio” è il tempo misurato dall’osservatore esterno al vagone non fermo rispetto all’orologio a fotoni.

Analizziamo ora le relazioni dei tempi t e t_o dei due osservatori in funzione della velocità del vagone:

se la velocità v è molto bassa ossia molto più piccola di c segue che $\lim_{v \to 0} \gamma = 1$ e quindi $t \simeq t_o$

si ha quindi simultaneità nelle due osservazioni fuori e dentro il vagone

se la velocità è molto alta ossia molto vicina a c segue che $\lim_{v \to c} \gamma = 0$ quindi $t \simeq \infty$

ossia i fenomeni osservati a terra risultano avere durata molto grande mentre i fenomeni osservati nel vagone risultano avere durata molto breve:

$t_o \simeq 0$

Non si ha perciò più simultaneità nelle due osservazioni ed un breve istante dentro il vagone sembrerebbe interminabile ad un osservatore esterno

il fattore $\gamma$ che relaziona i tempi di osservazione subisce a velocità prossime a quelle della luce una grande dilatazione come se la velocità della luce fosse un limite fisico. Attraverso tale fattore si intuisce inoltre che il tempo non può essere inteso come una grandezza fisica assoluta ma è da considerarsi come relativa al sistema di osservazione.

Fino ad ora abbiamo preso in considerazione un orologio in cui i fotoni eseguivano una scansione del tempo verticalmente alla direzione di moto del vagone. Ora prendiamo in considerazione un orologio che effettua la scansione del tempo lungo la stessa direzione di moto del vagone.

Per un osservatore interno al vagone il fotone parte da A rimbalza in B e torna di nuovo in A coprendo la distanza $L_o$ , mentre per un osservatore esterno il percorso diventa AB’A’ quindi il tempo totale di rimbalzo del fotone è:

$t=t_ {AB'}+t_ {B'A'}={L \over {(c+v)} } + {L \over {(c-v)} }={{L(c-v+c+v)} \over {(c^2-v^2)} }={{2Lc} \over {(c^2-v^2)} } = {{ {2Lc} {1 \over c^2} } \over {(c^2-v^2)} { {1 \over c^2} } } = {{ {{2L} \over c} } \over {1-{v^2 \over c^2}} } = {{2L} \over c} \gamma^2$

quindi ricapitolando nell’orologio verticale abbiamo per l’equazione 2) e l’equazione 6) una relazione tra tempo e spazio come segue:

7) $t = {{2L_o} \over c} \gamma$

mentre nell’orologio orizzontale abbiamo la relazione tra tempo e spazio come segue:

8) $t = {{2L} \over c} \gamma^2$

eguagliando quindi l’equazione 7) e 8):

${{2L_o} \over c} \gamma = {{2L} \over c} \gamma^2$

otteniamo la relazione tra le lunghezze osservate fuori e dentro il vagone:

9) $L = { 1 \over \gamma} L_o$

essendo il fattore $0< { 1 \over \gamma } \le 1$ se ne deduce quindi che l’osservatore esterno al vagone osserva rispetto a quello interno una contrazione della lunghezza dell’orologio di luce lungo la direzione di moto.

$L_o$ viene definita “lunghezza propria” che è quindi la lunghezza dell’orologio di luce misurata da un osservatore in quiete rispetto ad esso

$L$ viene definita “lunghezza impropria” che è quindi la lunghezza dell’orologio di luce misurata da un osservatore in moto rispetto ad esso

Ma come si può interpretare praticamente $\gamma$ ?
Quando si osserva un oggetto da diversi punti di vista le sue “proprietà” come lunghezza, larghezza e profondità variano, lo si può vedere di profilo oppure di sopra e le dimensioni prospettiche saranno ogni volta diverse ma rimane sempre quell’oggetto. Alla stessa identica maniera osservando il nostro orologio di luce da dentro il vagone o da fuori il vagone ne percepiamo il tempo di oscillazione e la sua lunghezza sostanzialmente come delle “proprietà” variabili in funzione del punto di osservazione ma rimane sempre quel regolo di luce e $\gamma$ sembra esprimere in pratica una prospettiva nell’osservazione dello spazio e del tempo di un “unico oggetto fisico” che è chiamato “spaziotempo”.

dalla 6) risulta: $\gamma = {{t} \over t_o}$

dalla 9) risulta: $\gamma = {{L_o} \over L}$

Esiste in poche parole una simmetria tra spazio e tempo: lo spazio è il tempo ed il tempo è lo spazio a seconda del modo in cui l’osservazione viene fatta.

Essendo la velocità della luce il rapporto tra 2 grandezze simmetriche e tra loro equivalenti, ed essendo quindi il suo valore invariante rispetto al sistema di riferimento può essere utilizzata come un vero e proprio strumento di riferimento nelle misurazioni. Immaginando di utilizzare la luce come un vero e proprio regolo nelle misurazioni dello spazio o del tempo possiamo quindi affermare che il valore c è lo spazio percorso dalla luce in 1 secondo o è semplicemente 1 secondo!

Consideriamo un regolo AB di lunghezza pari a 1 secondo luce o semplicemente c , per un osservatore a terra esso trasla in un secondo orizzontalmente di uno spazio v ed il fotone secondo lui percorre lo spazio AP=c, mentre per un osservatore solidale al regolo il fotone percorre lo spazio A’P che come visto prima con il teorema di Pitagora risulta:

$A'P = {c \over \gamma}$

quando il fotone arriva nel punto B” per l’osservatore ad esso solidale nel moto è passato 1 secondo ed osserviamo che si formano i triangoli APA’ e AB”A” che sono tra loro simili e vale la relazione:

$A'P : A''B'' = AA' : AA''$

${c \over \gamma} : c = v: AA''$

cioè otteniamo:

$AA'' = v \gamma$

e si puo dedurre anche che:

$AB'' = c \gamma$

PROSPETTIVA DEGLI EVENTI RELATIVA ALL’OSSERVAZIONE IN MOTO
quindi durante 1 secondo a parere di un osservatore non solidale al regolo il fotone coprendo lo spazio AP=c tale orologio o regolo si sposta di uno spazio AA’=v

PROSPETTIVA DEGLI EVENTI RELATIVA ALL’OSSERVAZIONE IN QUIETE
mentre a parere di un osservatore solidale al regolo coprendo 1 secondo luce pari ad A”B” il regolo trasla di una distanza $\gamma$ volte maggiore pari a $v \gamma$

Chi ha dunque ragione di fronte a questa discordanza ?
evidentemente tutti e due ! è solo una questione di punti di vista, il fattore $\gamma$ esprime una prospettiva delle proprietà spaziali o temporali osservate!

i due osservatori osservano spazi e tempi diversi e quindi anche velocità diverse !
Ma ricordando che la quantità di moto del nostro regolo è data dal prodotto della sua massa per la sua velocità se ne dedurrebbe che a seconda del punto di vista spaziale/temporale anche la quantità di moto sarebbe diversa!

Cosa ?
e che ne sarebbe del principio di conservazione della quantità di moto, dell’impulso e quindi della stessa energia ?

secondo la prospettiva 1) dell’osservatore in quiete rispetto all’orologio: tale orologio e quindi anche i suoi fotoni possiedono un momento o una quantità di moto pari a $m_o v$ (essendo m_o la massa dell’orologio misurata da tale osservatore)

secondo la prospettiva 2) dell’osservatore in moto rispetto all’orologio: tale orologio e quindi anche i suoi fotoni possiedono una quantità di moto $\gamma$ volte superiore pari a $m v \gamma$ (essendo m la massa dell’orologio misurata da tale osservatore)

Per il principio della conservazione della quantità di moto i due momenti devono essere fra loro uguali:

$m v = m_o v \gamma$

ossia semplificando v in entrambi i membri dell’equazione

10) $m = {m_o \over \sqrt{ (1 - {{v^2}\over{c^2}} )}}$

la massa dell’orologio sembra quindi subire un incremento mano a mano che aumenta la velocità! Incredibile ! Vediamo ora quindi di capire da dove arriva questa massa in eccesso! e per farlo partiamo dal secondo principio della dinamica e dal teorema dell’impulso secondo il quale la variazione di quantità di moto equivale all’impulso:

$F dt = dP$

$F = { dP \over dt }$

$F = { d({mv}) \over dt }$

11) $F = { ({v \ dm \ + \ m \ dv }) \over dt }$

Calcoliamo il lavoro o l’energia cinetica prodotta nello spostamento infinitesimo dx:

$dW = F \ dx$

sostituendo quindi F con la 11) otteniamo:

$dW = { ({v \ dm \ + \ m \ dv }) \over dt } \ dx$

$dW = { ({v \ dm \ dx +m \ dv dx }) \over dt }$

$dW = {({v \ dm \ dx}) \over dt } + {({m \ dv \ dx}) \over dt }$

$dW = v \ dm \ {{dx} \over dt } + m \ dv \ {{dx} \over dt }$

ma ${{dx} \over dt }$ non è altro che la definizione di velocità

$v = {{dx} \over dt }$

segue quindi

$dW = v \ dm \ v + m \ dv \ v$

12) $dW = v^2 \ dm \ + \ m v \ dv$

consideriamo ora finalmente la massa relazionata fra i due sistemi di osservazione dell’equazione 10) eleviamo entrambi i membri al quadrato

$m^2 = {m_o^2 \over { (1 - {{v^2}\over{c^2}} )}}$

$m^2 = {m_o^2 \over { ({{c^2 - v^2}\over{c^2}} )}}$

$m^2 = {{m_o^2 c^2} \over {c^2 - v^2 }}$

$m^2 ( c^2 - v^2 ) = {m_o}^2 c^2$

$m^2 c^2 - m^2 v^2 = m_o^2 c^2$

differenziamo i membri dell’equazione per capire tale variazione di massa che qui visualizziamo cosa implica:

$d(m^2 c^2 - m^2 v^2) = d(m_o^2 c^2)$

$2m \ dm \ c^2 - (2m \ dm v^2 \ + \ m^2 \ 2v \ dv) = 0$

semplificando il termine 2m otteniamo

$dm \ c^2 - ( \ dm \ v^2 \ + \ mv \ dv) = 0$

13) $dm \ c^2 = ( \ dm \ v^2 \ + \ mv \ dv)$

ma il secondo membro della 13) non è altro che il lavoro infinitesimo prodotto nel piccolo spostamento della massa nell’equazione 12)

$dm \ c^2 = dW$

la variazione infinitesima di massa moltiplicata per il quadrato della velocità della luce esprime quindi la variazione infinitesima di lavoro, calcoliamo quindi quanto vale complessivamente la variazione di lavoro nelle due modalità di osservazione (a riposo e in movimento):

$\ \int_{m_o}^{m} dm \ c^2 =\ \int_{W_o}^{W} dW$

essendo:

W_o ed m_o rispettivamente il lavoro e la massa del regolo secondo l’osservatore in quiete relativa ad esso (osservazione dentro il vagone)
W ed m il lavoro e la massa del regolo secondo l’osservatore in moto relativo ad esso (osservazione a terra o fuori il vagone)

ottieniamo quindi

14) $mc^2 - m_oc^2 = W - W_o$

la differenza di energia cinetica o di lavoro nelle due osservazioni in movimento e in quiete è quindi $W-W_o= \Delta E_{cin}$ ed otteniamo:

15) $\Delta E_{cin} = mc^2 - m_oc^2$

16) $\Delta E_{cin} = ( m - m_o ) c^2$

17) $\Delta E_{cin} = {\Delta m} c^2$

Questa relazione spiega che variazioni di energia cinetica in un sistema implicano variazioni di massa la quale tende ad aumentare in relazione alla velocità secondo l’equazione 10). Considerando che in un sistema non è possibile stabilire fisicamente se questo è assolutamente fermo se ne può dedurre che qualsiasi oggetto nell’universo è intrinsecamente dotato di moto e quindi anche di energia cinetica anche quando è apparentemente fermo. Quindi l’energia potenziale del sistema a riposo non è altro che :

18) $U_{pot} = W_o = m_o c^2$

quindi l’energia meccanica totale è:

19) $E = W -W_o + U_{pot}$

20) $E = mc^2-m_oc^2+m_oc^2$

21) $E = mc^2$

«Dalla teoria della relatività speciale si ricava che massa ed energia sono entrambe differenti manifestazioni della stessa cosa – un concetto non di immediata comprensione per l’uomo della strada. Inoltre, l’equazione E uguale a m moltiplicato per c elevata al quadrato, che significa che l’energia è uguale alla massa moltiplicata per il quadrato della velocità della luce, mostra che piccolissime quantità di massa possono essere trasformate in una immensa quantità di energia e viceversa. La massa e l’energia sono infatti equivalenti, secondo la formula appena citata. Questo è stato dimostrato da Cockroft e Walton nel 1932 in un esperimento».

Massa ed energia sono due aspetti simmetrici della realtà. La rottura di questa simmetria genera l’una o l’altra cosa.

Meraviglioso!

Questo articolo è in formato video su YouTube:
http://www.youtube.com/watch?v=sWbYLQTxPl8

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8 risposte a “Introduzione alla teoria della relatività speciale”

Ilario M. scrive:

maggio 28, 2010 alle 10:50 pm

Salve,
ho letto il suo articolo riguardo la relativita’ speciale e vorrei porle una domanda (premetto che le mie nozioni di fisica sono quelle delle scuole superiori). Dall’articolo mi pare di capire che la relativita’ speciale parla di PERCEZIONE dilatata del tempo di un osservatore fermo rispetto ad uno in movimento (causata dal tempo necessario alla luce per propagarsi), e non di una EFFETTIVA dilatazione del tempo; d’altra parte posizionando l’apparato degli specchi accanto all’osservatore fermo e ripetendo l’esperimento allora tutte le osservazioni fatte rimarrebbero valide, ma sarebbe l’osservatore sul vagone ad avere una percezione dilatata del tempo.

Quando si parla della relativita’ speciale si porta spesso come esempio il paradosso dei gemelli (riguardo la dilatazione del tempo ), ma dalle osservazioni riportate non capisco per quale motivo il gemello che viaggia ad una velocita’ prossima a quella della luce non debba invecchiare rispetto a quello che rimane sulla terra.

Grazie

Ilario M.
Alessandro Rizzo scrive:

maggio 29, 2010 alle 2:17 am

Salve Ilario, grazie per aver scritto. Immagini di stare comodamente seduto nella suo salotto. Osserverà nel suo sistema di riferimento tutti gli oggetti fermi: tv, tavolo, sedie, divano tutto immobile, a malapena si muoverà qualche tenda, però la terra si sta muovendo attorno al sole ad una velocità di 29 km/sec mentre l’intero sistema solare si trova in un braccio della Via Lattea in un vortice di gas e detriti cosmici, poco lontano dal disco galattico e questo a sua volta ha una velocità di rivoluzione media pari a circa 250 km/sec. Inoltre la Via Lattea si sta muovendo in questo momento a circa 600 km/sec rispetto al riferimento dato dalle galassie circostanti. La “PERCEZIONE” che quindi ha lei di stare “FERMO” nello spazio osservando gli oggetti del suo salotto “E’ RELATIVA” al suo sistema di riferimento. Lo stesso si può dire quindi del tempo visto che tempo e spazio sono due facce di una stessa moneta. La differenza risulterà evidente ed “EFFETTIVA” solo quando si confrontano due sistemi di riferimento. Un esempio giusto per parlare di qualcosa di concreto: i muoni sono particelle generate dai raggi cosmici nell’alta atmosfera terrestre: vivono solo per circa 2 milionesimi di secondo, poi si trasformano in altre particelle. Muovendosi al 99% della velocità della luce, la distanza che dovrebbero percorrere si può calcolare in 300.000×0.99×2 milionesimi = 0.6 km. Quindi, percorrendo solo 600 metri (!), dovrebbero decadere prima di arrivare sulla superficie della terra. Nella realtà essi arrivano fino al livello del mare, cosa che viene interpretata come un aumento della loro vita media a causa dell’alta velocità: rispetto ad un osservatore sulla superficie terrestre, la loro vita si allunga (perché il loro tempo scorre più lentamente), e sono quindi in grado di percorrere distanze più grandi di quelle attese. Questo perchè spazio e tempo sono semplicemente grandezze relative. I nostri sensi si sono forgiati nell’illusione che il tempo e lo spazio siano ovunque ed in qualsiasi condizione da intendersi omogenei come un bel lenzuolo uniforme e ben stirato. Ma la matematica fortunatamente ci è da supporto e ci fa vedere un universo tutt’altro che piatto attraverso la luce.
Ilario M. scrive:

maggio 29, 2010 alle 1:40 pm

ok… ma, tornando al paradosso dei gemelli, per quale motivo è proprio il gemello in viaggio sulla navicella a rimanere giovane? Se prendiamo come sistema di riferimento la navicella non è la Terra ad allontanarsi dalla navicella (causando una percezione dilatata del tempo al gemello fermo nella navicella)?
Alessandro Rizzo scrive:

maggio 29, 2010 alle 6:01 pm

buona osservazione Ilario! … credo però sia meglio parlare di “MISURAZIONI” (eseguite con degli orologi) piuttosto che di PERCEZIONI. L’apparente contraddizione che lei solleva si risolve osservando che le due prospettive dei gemelli non sono in realtà completamente simmetriche: per compiere il suo viaggio, un gemello deve accelerare partendo da Terra, viaggiare a velocità costante per un certo periodo, quindi fermarsi, girarsi, accelerare di nuovo, volare ancora un po’ e finalmente fermarsi per toccare nuovamente il suolo sulla Terra, quindi il sistema che lei prende in considerazione ossia la navicella non è un sistema inerziale. Tutte queste manovre “PRECLUDONO LA SIMMETRIA” fra le due osservazioni quindi l’interscambiabilità osservativa proposta asserendo che potrebbe essere la terra ad allontanarsi a velocità prossime a quelle della luce e la navicella ad essere ferma non sono del tutto corrette. Osservando tuttavia il problema sotto il punto di vista della relatività generale, tutti i sistemi di riferimento, non solo quelli inerziali, sono ugualmente validi. La situazione, a prima vista, appare quindi di nuovo simmetrica (!): non sembra esservi una ragione per cui l’orologio della Terra debba andare più veloce di quello dell’astronave, e non il contrario. A ben guardare, però, una differenza esiste: un osservatore sull’astronave, nel momento in cui essa inverte la rotta, avverte un’accelerazione. Nel sistema di riferimento della Terra, si tratta dell’accelerazione che l’astronave SPERIMENTA nel mutare la sua velocità da v a -v; nel sistema di riferimento dell’astronave, essa viene avvertita come un’accelerazione di gravità.
Ora, la relatività generale prevede che quanto più intensa è l’accelerazione che un osservatore avverte, tanto più il suo orologio rallenta (red-shift gravitazionale). Durante la fase di accelerazione, quindi, l’osservatore sull’astronave vede l’orologio sulla Terra andare molto più veloce del suo: si può calcolare che in questo tratto esso “recupera” il tempo perso nei tratti di moto uniforme, e il tempo totale corrisponde a quello calcolato nell’altro sistema di riferimento.
Ilario M. scrive:

maggio 30, 2010 alle 11:06 am

Salve Alessandro, innanzitutto desidero ringraziarla per aver risposto a questa mia domanda (nei prossimi post puo’ darmi del tu se lo desidera – tra l’altro credo che abbiamo all’incirca la stessa eta’ dato che io sono dell’80)
Sebbene l’ultimo post mi abbia convinto riguardo il paradosso dei gemelli, rimangono i miei dubbi circa “L’INTERSCAMBIABILITA’ OPERATIVA” nei sistemi riportati nel primo esempio. Ipotizziamo di ripetere l’esperimento con il vagone posizionando un altro apparato di specchi accanto all’osservatore fermo a terra; ora l’osservatore a terra avra’ una misurazione dilatata del tempo rispetto all’osservatore sul vagone, ma anche l’osservatore sul vagone dovrebbe avere una misurazione dilatata del tempo (se prendiamo come sistema di riferimento il vagone e ipotizzando che il moto del vagone sia rettilineo uniforme): cos’è che non sto considerando e che mi porta a questa contraddizione?

Grazie
Alessandro Rizzo scrive:

maggio 30, 2010 alle 7:17 pm

Carissimo Ilario, è un bene essere curiosi. Grazie a te. La relatività speciale predice che la contrazione spaziale e la conseguente dilatazione temporale possa essere fotografata o osservata mediante un conveniente esperimento e le espressioni “OSSERVARE” e “VEDERE” sembrano essere del tutto interscambiabili. Ma attenzione c’è tuttavia una profonda distinzione fra i due termini:
* l’osservazione della forma “propria” di un oggetto richiede misure simultanee della posizione di un certo numero di punti sull’oggetto.
* la visione dello stesso oggetto richiede invece una qualche interazione con l’evento , attraverso i quanti di luce emessi dalle varie parti dell’oggetto che, provenendo da posizioni diverse, raggiungono l’osservatore visivo in tempi sensibilmente diversi.
Questo comporta una sorprendente deformazione dell’immagine osservata e conseguentemente dello spazio e del tempo di propagazione. Accade infatti che i raggi di luce che raggiungono gli occhi simultaneamente sono partiti dall’oggetto in istanti diversi, questo a causa della finitezza della velocità della luce; ora, se l’oggetto si muove lentamente, la differenza di cammino dei raggi luminosi e quindi la deformazione ottica risultano trascurabili. Se invece il rapporto v/c diventa significativamente elevato, allora la visione di un oggetto comporta effetti di particolare interesse. Non esiste un sistema inerziale privilegiato è vero e vale l’interscambio la tua contraddizione credo che nasca tuttavia dall’errato significato attribuito al concetto di tempo proprio e a quello di tempo improprio che implicano questa aberrazione spaziale e temporale. La definizione dello spazio e del tempo è connaturata alla luce stessa e per ora non ci sono altri modi nel nostro universo per definirli, se essa subisce una aberrazione nel suo cammino, il gap è temporale oltrecchè spaziale. Nel cielo molte stelle colpiscono i tuoi occhi ma non esistono più da milioni di anni, ed il tuo presente non è di certo il loro presente. Il tempo dipende solo dalla tua prospettiva di osservazione spaziale o dal modo in cui essa si rapporta nel tuo moto alla velocità della luce (v/c) esattamente come l’osservatore del nostro esempio che si rapporta al regolo di luce con gli specchi per fare tutte le sue belle comparazioni. In effetti ti do ragione lo spaziotempo è notevolmente contro-intuitivo ma pensalo più come ad un OGGETTO, ad esempio immagina un evento come un bel campanile, in cui l’altezza è il tempo e la larghezza lo spazio, se lo osservi prospetticamente dal basso potrebbe sembrarti molto più larga la base rispetto all’altezza e vedi conseguentemente un fenomeno durare più brevemente tuttavia se lo osservi diversamente da un altro punto o in un altro modo noterai magari che l’altezza diventa più lunga e la base più corta ed il fenomeno risulta conseguentemente più dilatato nel tempo e più contratto spazialmente. Perdonami il semplicismo dell’esempio ma è per meglio darti un’idea di come possa intendersi fisicamente lo spaziotempo. La luce è quella cosa che serve come un metro a ritrovare le giuste proporzioni ed i giusti rapporti spaziotemporali del campanile (v/c) nonostante l’aberrazione prospettica a cui è soggetto in quella particolare condizione osservativa.

http://www.podcast.it/episodi/lezione-4-“introduzione-storica-alla-relatività”-10369846.html
Vincenzo Baio scrive:

giugno 11, 2010 alle 10:40 am

nella risposta maggio 29, 2010 alle 6:01 pm si conclude:
“Durante la fase di accelerazione, quindi, l’osservatore sull’astronave vede l’orologio sulla Terra andare molto più veloce del suo: si può calcolare che in questo tratto esso “recupera” il tempo perso nei tratti di moto uniforme, e il tempo totale corrisponde a quello calcolato nell’altro sistema di riferimento.”
Il “recupero” è integrale? per cui i tempi trascorsi sono eguali e la situazione perfettamente simmetrica. Intuitivamente ritengo sia così per coerenza logica.
Tuttavia, nel libro di Max Born – LA SINTESI EINSTEIANA – Boringheri, a pag.416 è effettuato un calcolo che tiene conto del moto accelerato nella fase di inversione di marcia, che però compensa solo per metà la differenza di tempo trascorso durante il moto uniforme e, alla fine, rimane il risultato asimmetrico della relatività ristretta. Ritengo possa esserci un errore nel calcolo.
E’ possibile avere il calcolo corretto di tali tempi?
Alessandro Rizzo scrive:

giugno 20, 2010 alle 9:35 am

Ciao Vincenzo vedo di ripescare il testo in oggetto in biblioteca se riesco. Se hai i calcoli potresti incollarli in latex qui e ci ragioniamo insieme. Lo spaziotempo (ossia la geometria del vuoto) è un oggetto studiabile attraverso il tensore metrico che ne esprime l’invarianza metrica degli eventi e conseguentemente ne spiega anche la simmetria indipendentemente dalla modalità osservativa a cui sono sottoposti i sistemi inerziali. Nella relatività generale, si estende il concetto di invarianza anche ai sistemi non inerziali sottoposti cioè alla forza della gravità e ad accelerazione. Si usa in questo contesto il tensore di Ricci ossia un tensore simmetrico come il tensore metrico ma a differenza di questo misura il modo in cui “il volume varia localmente rispetto all’usuale volume di uno spazio euclideo” ossia esprime la curvatura di una varietà di Riemann. L’asimmetria a cui fai riferimento riguarda il sistema di osservazione ma la varietà dovrebbe rimanere nel complesso delle trasformazioni e dei calcoli sempre la stessa altrimenti vi è incongruenza. Einstein infatti usa i tensori perché sono strumenti matematici più adeguati a una teoria fisica indipendente da punti di riferimento che possono creare prospettive illusorie e nell’intenzione di Ricci i tensori vengono usati per costruire equazioni covarianti rispetto a un qualsivoglia cambiamento di coordinate e di osservazione.

http://www.ciaoidea.it/fisica/le-trasformazioni-di-lorentz-rotazione-nello-spaziotempo-ed-invarianza-della-distanza/

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