L’identità di Eulero – l’equazione più bella della matematica | Appunti di Matematica e Fisica

Consideriamo l’equazione

1) $x^2 = -1$

non esiste nessun numero reale che elevato al quadrato restituisca -1, in quanto il quadrato di un numero reale è un numero positivo oppure nullo. Le soluzioni sono

$x = \pm \sqrt {-1}$

essendo $\sqrt {-1}$ un’ entità matematica non reale o immaginaria indicata con la lettera i

$i = \sqrt {-1}$

quindi le soluzioni dell’equazione 1) sono

$x = \pm i$

ossia

$i^2 = 1$

se ne deduce quindi che i numeri reali si ottengono da operazioni con numeri immaginari (in questo caso il quadrato dell’unità immaginaria) quindi l’insieme dei numeri reali R non può che essere un sottoinsieme di un insieme ancora più vasto costituito da numeri reali e da numeri immaginari: tale insieme è quello dei numeri complessi C

$R \subset C$

Possiamo definire quindi un numero complesso z come un vettore costituito da una coppia di valori: uno reale (a) e ed uno immaginario (ib) rappresentabile nel Piano di Gauss:

essendo:

$z \in C$

$a,b \in R$

$z=a+ib$

$|z|=\sqrt { a^2 + b^2 } =\rho$

$\theta$ è l’angolo formato tra il vettore z e l’asse reale e valgono quindi le relazioni:

$a= \rho cos \theta$

$b= i\rho sin \theta$

segue :

2) $z=\rho (cos \theta + i sin \theta)$

deriviamo ora z rispetto a $\theta$ per vedere come tale vettore rapidamente varia in funzione di questo angolo:

${ d z \over d \theta }= { d \over d \theta } {\rho (cos \theta + i sin \theta) }$

ipotizzando $\rho$ costante risulta:

${ d z \over d \theta }= {\rho ( -sin \theta + i cos \theta) }$

$d z = {\rho ( -sin \theta + i cos \theta) } d \theta$

$d z = {\rho i ( i sin \theta + cos \theta) } d \theta$

ma ricordando la definizione di z nella 2) risulta:

$d z = i z d \theta$

${ 1 \over z } d z = i d \theta$

sommiamo attraverso un processo di integrazione tutte le microvariazioni di z rispetto a $\theta$ :

$\int { 1 \over z } d z = \int { i d } \theta$

$log z = i \theta$

$z = e ^ { i \theta }$

per la 2) risulta:

$\rho (cos \theta + i sin \theta) = e^{ i \theta }$

se $\rho = 1$ otteniamo la formula di Eulero

$e^ { i \theta } = cos \theta + i sin \theta$

se $\theta = \pi$ otteniamo

$e ^ { i \pi } = -1$

questo risultato è facilmente comprensibile: quando l’angolo $\theta$ corrisponde a 180° la punta del vettore complesso coincide nella direzione ma con verso opposto all’asse reale (ved. segno negativo) e con modulo 1

da qui segue la famosa identità di Eulero:

$e ^ { i \pi } + 1 = 0$

L’equazione, elegante e concisa, racchiude ben 5 entità fondamentali della matematica:

- il numero di Nepero o Eulero: ${e}$
- la costante ${ \pi }$
- il numero immaginario ${ i }$
- il numero naturale ${ 1 }$
- il numero naturale ${ 0 }$

La bellezza della matematica risiede nella pluralità delle possibili connessione che un risultato riesce ad evocare. La formula di Eulero mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. (L’identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero). Ora visto che i numeri complessi sono un insieme molto più grande dei numeri reali e visto che attraverso questi ultimi è possibile descrivere i fenomeni fisici naturali possiamo concludere che i numeri complessi possono essere utili a descrivere la fisica dei fenomeni in modo più generale e matematicamente più compatto.

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4 risposte a “L’identità di Eulero – l’equazione più bella della matematica”

anonimo scrive:

gennaio 26, 2010 alle 2:40 pm

ciao. potresti indicarmi per piacere le basi per comprendere a fondo la teoria dei numeri primi?
Alessandro Rizzo scrive:

gennaio 26, 2010 alle 9:15 pm

Ciao! Dai un occhio all’ipotesi di Riemann (è il più importante problema aperto della matematica moderna) http://it.wikipedia.org/wiki/Ipotesi_di_Riemann
Batho scrive:

luglio 8, 2010 alle 10:55 am

Ciao intanto mi complimento con te per l’ottimo lavoro.

Volevo solo farti presente che (credo) ci sia un errore di segno nello sviluppo dei passaggi.
Nel passaggio che si “intitola”: “ipotizzando rho costante”,(dopo la derivazione di z rispetto a tetha) al terzo passaggio, quando “raccogli” l’unità immaginaria, davanti al coseno di tetha dovrebbe esserci un segno “+”, invece metti un segno “-”.
Spero di non essermi sbagliato altrimenti mi aspetta la gogna pubblica!
Ciao e grazie
Alessandro Rizzo scrive:

luglio 8, 2010 alle 11:48 am

Ciao Batho! altrocchè! sei stato un grande! grazie per la segnalazione, ho perso per strada un segno ! Bravissimo così si fa! grazie infinite. Alessandro

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L’identità di Eulero – l’equazione più bella della matematica

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